Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті




Скачать 119.81 Kb.
НазваниеЕ. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті
Дата конвертации06.02.2016
Размер119.81 Kb.
ТипДокументы
источникhttp://assorti-1.narod.ru/conf2009/conf_smailova.doc
Е.А.Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті

Қарағанды облысы Білім Департаменті

Аймақтық практикалық конференция


Тақырыбы:Анықтауыштарды есептеулерде қолдану


Орындаған: Шет ауданы

Ы.Алтынсарин атындағы мектеп-гимназия

10г сынып оқушысы

Смаилова Айша


Жетекші:Шет ауданы

Ы.Алтынсарин атындағы мектеп-гимназия

Математика пәні мұғалімі

Омашева Дәрібала Қойбағарқызы


Қарағанды қаласы

2009жыл


Мақсаты:2-ші,3-ші,п-ші ретті анықтауыштардың элементтерінен құралған кесте бойынша мәндерін есептеу ережелері туралы түсінік бере отырып,анықтауыштардың қасиеттерін есептеулерде қолдану жағдайларын көрсету.Анықтауыштар көмегімен екі және көп белгісізі бар теңдеулер жүйесін шешуді және әр типті геоиетриялық есептерді жеңіл әдіспен шешу жолдарын түсіндіру


Кіріспе

Тарих пайымдауында анықтауыш фнеомен-матрицалардан бұрын анықталған Алғашқыда анықтауыш сызықтық теңдеулер жүйесі ретінде берілген Анықтауыш бір немесе бірнеше теңдеулерден тұратын жүйелерді шығару үшін қолданылады.Анықтауыш алғаш рет Қытайда математика оқулықтарында пайдаланылған.Еуропада жұптық анықтауыштар VІ ғасырдың соңында Корданның,көбінесе Лейбництің зерттеулерінде кездескен.Жапонияда анықтауыштар алгебралық теңдеулер саласында айнымалыларды қатыстырмай оқыту мақсатында пайдаланған.1750 жылы Швейцар математигі Г.Кромер белгісіздерді жүйенің коэффиценттерінен тұратын анықтауыштар арқылы өрнектейтін жалпы формуланы анықтады.1771ж. Ваандермонд ианықтауыштарды тәуелсіз функциялар түрінде көрсетсе,ал 1772ж. Лаплас математиктер арасында анықтауышты қосымша минорларға бөлу әдісін көрсетті.Лагранж айнымалыларды қатыстырмау теориясының аясында алғаш рет зерттеді.1801ж. Гаусс анықтауыш феноменін сандар теориясына пайдаланды.Гаусс анықтауыштардың кері шамасын есептеумен айналысты.Ол өз жұмысында қазіргі заман математикасында көбейту теоремасы ретінде қалыптасқан қорытындыға сүйенді.Анықтауыштың немесе математикалық феноменді зерттеуде тағы бір маңызды фигура – пруссиялық математик Якоби болды.Өз жұмысында зерттеуші көп уақытын функционалдық анықтауыштарға жұмсады.Кейіннен оны Якоби анықтауышы деп атады.Анықтауыштың негізгі мағнасы квадраттық матрица сызықтық түрлендіру ретінде көлемді есептейтін масштабтық коэффицент деп түсінуге болады.Анықтауыш кері матрицаға,яғни нөлге тең емес дәреже және сызықтық теңдеулер жүйесіне Кромер ережесін пайдалана отырып сипиттама беру үшін қажет.ПХП параметрлі квадраттық матрица жазықтықтағы п-мөлшерлік вектор шамасымен сәйкес болатын координаттық түрінде қарастырылады.


Енді анықтауыштарды 5 теңдеуден тұратын теңдеулер жүйесін шешуде қолданамыз.


x + у + 2t – V = 11

x + у + 2t + t = 13

х + у - V + t = 15

х + 2t - V + t = 1

у + 2t - V + t = 0


Шығарылуы


х у Z t V 0 0 0 0 -1 1 1 2 1

1 1 2 0 -1 1 1 2 1 0 0 0 -2 1 0 -2 1

= 1 1 2 1 0 = 0 0 -2 1 -1 = -1 * 0 -1 0 1 = -1 * -1 0 1 + (-1)

1 1 0 1 -1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 1

1 0 2 1 -1 -1 0 0 1 -1

0 1 2 1 -1


1 2 1 -2 1

0 -2 1 = -1 - (-2 – 2 - 2) = 2 + 6 = 8 = 0

-1 0 1 0 1


с у Z t V жүйенің бір шешімі бар

11 1 2 0 -1 0 0 0 0 -1 13 1 2 1

13 1 2 1 0 13 1 2 1 0 4 0 -2 1

х = 15 1 0 1 -1 = 4 0 -2 1 -1 = -1 * -10 -1 0 1 = -2

1 0 2 1 -1 -10 -1 0 1 -1 -11 0 0 1

0 1 2 1 -1 -11 0 0 1 -1


4 0 1 13 1 1

-10 -1 1 - 2* -10 -1 1 = -2 * (-4 - 11) – 2 * (-13 – 11 – 11 + 10) = -2 *

-11 0 1 -11 0 1 * (-15) -2 * (-25) = 30 + 50 = 80

Х 80

Х = ---- = ----- = 10

8

x с Z t V 0 0 0 0 -1 1 13 2 1

1 11 2 0 -1 1 13 2 1 0 0 4 -2 1 4 -2 1

у = 1 13 2 1 0 = 0 4 -2 1 -1 = -1* 0 -10 0 1 = -1* -10 0 1 - 1*

1 15 0 1 -1 0 -10 0 1 -1 -1 -11 0 1 -11 0 1

1 1 2 1 -1 -1 -11 0 1 -1

0 0 2 1 -1

13 2 1

4 -2 1 = -1* (22 - 30) – 1* (-26 – 20 – 20 - 8) = -2 – (-74) = 72,

-10 0 1

х у с t V

у 72 1 1 11 -1 0 0 0 0 -1 0

у = ---- = ---- = 9. Z = - 1 1 13 0 1 = - 1 1 13 0 1 =

8 1 1 15 -1 1 0 0 4 -1 1

1 0 1 -1 1 0 -1 -10 -1 1

0 1 0 -1 1 -1 0 -11 -1 1


1 1 13 1

0 0 4 1 0 4 1 1 13 1 4 1 4 1 13 1

= -1* 0 -1 -10 1 = - -1 -10 1 + 0 4 1 = - + - =

-1 0 -11 1 0 -11 1 -1 -10 0 -11 1 -10 1 4 1


1 13 1 4 1 4 1 13 1

= 0 4 1 = - + - = - (4 + 11) – (4 + 10) + (13 - 4) =

-1 -10 1 -11 1 -10 1 4 1

Z -20 5

= -15 – 14 + 9 = -20. Z = ------ = ----- = - -----

8 2


t = 13 – х – у - 2 Z = 13 – 10 – 9 + 5 = -1. t = -1;


V = х + у + 2 Z – 11 = 10 + 9 – 5 – 11 = 3.


Жауабы: (10; 9, - 2,5; -1; 3).


Анықтаушы көмегімен параметрлі теңдеулер жүйесін шешуү


К параметрінің қандай мәнінде жүйенің бір шешімі, шексіз көп шешімі бар, немесе шешімі жоқ болады?


3х + 2ку = 1

3 (к - 1) х – ку = 1


3 2к 1

= 3 (к - 1) – к = -3к – 6 к2 + 6к = -6к + 3к = 3к (-2к + 1) = 0 = К = 0 немесе К =-----

2


1 2к

Х = = -к - 2к = -3к = 0 = К = 0.

1 -к


3 1 1

У = = 3 – 3к + 3 = 6 – 3к = 0 К=2 егер К=0; К= ---- болса, жүйенің бір

3 (К-1) 1 2

-3К 1 2 - К

шешімі бар х1 = -------------------------- = -----------; у = -----------------

3К (-2к + 1) 2К – 1 К (-2К + 1)

1

К = 0; К = ---- болса жүйенің шешімі жоқ

2


Тексеру: 1

3х = 1 х = ----

К = о = = 3

1

-3х = 1 х = - ----

3


1 3х + у = 1 3х + у = 1

К = ---- = 3 1 = шешімі жоқ

2 - -- х - -- у = 1 -3х – у = 2

2 2


3х + 4у = 1 мүш. азайт/з

К = 2 3х – 2у = 1 у = 0

1

+6у = 0 х = ----;

3


Теңдеулер жүйесін зерттейміз.


(а + 5) х + (2а + 3) у – (3а - 2) = 0

(3а + 10) х + (5а + 6) у – (2а + 4) = 0

Шешуі:

а + 5 2а + 3

= 3а + 10 5а + 6 = (а + 5) (5а + 6) – (2а + 3) (3а + 10) = 5а2 + 6а + 25а + 30 – --(6а2 + 9а + 20а + 30) = -а2 + 20 = - а (а - 2) егер а (а - 2) = 0 болса, шешімі шексіз көп немесе шешімі жоқ.

3а + 2 2а + 3

х = = (3а + 2) (5 а + 6) – (2а + 4),

2а + 4 5а + 6

14

(2а + 3) = 15а2 + 18а + 10а + 12 – 4а2 – 14а – 12 = 11а2 + 14а = а(11а + 14) =0 = а =0; а2 = - ----

11


а + 5 3а + 2

У= = (а + 5) (2а + 4) – (3а + 10) = 2 а2 + 14а + 20 - 9 а2 – 36а – 20 = - 7 а2 -

3а + 10 2а + 4

22

- 22а = - а (7а - 22) = а1 = 0, а2 = ----

7


І төбесі А1 ІІ-ші В, ІІІ-сі С болсын

Сонда


1 х1 – х3 у1 – у3 1 4 + 6 -2 – 4 10 -6 1

S = + --- = + --- = + = + --- (10* ( -9) – 8 * (-6)) =

- 2 х2 - х3 у2 – у3 - 2 2 + 6 -5 - 4 - 8 -9 - 2


1 1

= + --- * (-90 + 48) = - --- * (-42) = 21.

- 2 2


Егер S = 0 болса, онда үш нүкте бір түзудің бойында жатады

Мысалы: А (-2; 5), В (4; 3), С (16; -1) нүктелері берілген


1 1 х2 – х1 у2 - у1 1 4 – (-2) 3 – 5 1 6 -2 1

S = + --- + --- = + --- = + --- =+ -- *

- 2 2 х3 – х1 у3 - у1 2 16 – (-2) -1 - 5 2 18 -6 2


(-36 + 36 ) = 0.


А, В, С үш нүкте бір түзудің бойында жатады.

А (х1, у1) және В (х2, у2) екі нүкте арқылы өткен түзудің теңдеуі:


х – х1 у – у1

х2 – х1 у2 – у1 = 0


мысалы: А(1; -3), В(2; 5) нүктелері арқылы өткен түзудің теңдеуін жазу керек:

шешуі: х – 1 у + 3

= 0 – 8 (х - 1) – (у + 3) * 1 = 8х – 8 – у – 3 = 8х-у – 11 = 0

2 – 1 5 + 3


2) Анықтауыш көмегімен векторларың векторлық көбейтіндісін есептеу i j k

а (х1, у1, Z1) және в (х2, у2, Z2) векторлардың векторлық көбейтіндісі деп С = х1 у1 Z1

х2 у2 Z2


векторын айтады.

Векторлардың векторлық көбейтіндісі мына формуламен анықталады.

у1 Z1 Z1 х1 х1 у1

а + в = ; ; а + в векторлық көбейтіндісінің модулі а және в

у2 Z2 Z2 х2 х2 у2 модулдерінің көбейтіндісін осы векторлардың арасындағы бұрыштың синусына көбейткенге тең:

а х в = а * в sin (а, в) а х в векторлық көбейтіндісі модулінің сан мәні а және в векторларына салынған параллелограмм ауданына тең. S = а х в

мысалы, А (1; 0; 3), В (2; 2; -1), С (4; -2; 0) нүктелері берілген АВС үшбұрышының ауданың табу.

Шешуі. АВ х АС саны АВ және АС векторлары арқылы тұрғызылған параллелограмм ауданына тең.

1 2 -4 -4 1 1 2

Онда SАВС = --- АВ х АС , АВ (1; 2; -4), АС (3; -2; -3) ж2не АВ х АС = ; ; =

2 -2 -3 -3 3 3 -2

1 341

(-14; -9; -8) SАВС = --- 14 2 + 9 2 + 82 = ---- (кв. бірлік).

2 2


Векторлардың компланарлық шарты а, в, с векторлардың бас нүктелерін бір нүктеге түйістіргенде олар бір жазықтықта орналасса онда ол векторлар компланар болады. Белгісі: а = в + с. Егер векторлар координаталарымен берілсе, яғни а (х1, у1, Z1), в (х2, у2, Z2), с (х3, у3, Z3) болса, онда олардың компланарлық белгісі:

х1 у1 Z1

х2 у2 Z2 = 0

х3 у3 Z3


Мысалдар: 1) а = i – j + 2, в= 3i +j,

c = mi + 2k векторлары компланар болатындай m мәнін тап.

1 - 1 2

3 1 0 = 2 - 2m + 6 = 0 = m = 4, = а = gв + pс орындала ма, тексерейік; а (1; -1, 2) = g (3,

M 0 2 1, 0) + р (4, 0, 2) = 1 = 3g + 4р

-1 = g + 0 =

2 = 0 + 2р


= g = -1 = а = -в + с, яғни векторлар компланар.

р = 1


Жазықтық теңдеуі.

А (х1, у1, Z1), В (х2, у2, Z2), С (х3, у3, Z3) нүктелері және К (х, у, Z) нүктесі бір түзуде жатпайтын болсын деп берілсін. Егер АК, АВ, АС векторлары комплар болса онда А, К, В, С нүктелері бір жазықтықта жатады. Векторлары координаталары арқылы жазайық:

АК (х-х1, у-у1, Z-Z1); АВ (х2-х1, у2-у1, Z2 -Z1); АС (х3-х1, у3-у1, Z3-Z1) сондықтан жазықтық теңдеуі: х-х1, у-у1, Z-Z1

х2-х1, у2-у1, Z2 -Z1 = 0.

х3-х1, у3-у1, Z3-Z1

1. Мысал: А (0, 1, 5), В (3, 0, 0), С (-1, 1, 6) нүктелерінен өтетін жазықтық теңдеуін құру керек. Шығарылуы: Жазықтықтың ах+ву+сZ+d = 0. теңдеуіне А, В, С нүктелерінің координаталарын қойып, үш белгісізі бар теңдеулер жүйесін шешеміз.

в + 5с + d = 0 0 1 5

3а + d = 0 = = 3 0 0 ;

-а + в + 6с + d = 0 -1 1 6


1 1 5

а =1 0 0 = 5 – 6 = -1

1 1 6


0 1 5

в = 3 1 0 = 15 + 5 – 18 = 2

-1 1 6


0 1 1

с =3 0 1 = -1 + 3 – 3 = -1. –х + 2у – с + 3 = 0. х – 2у + с – 3 = 0

-1 1 1 жазықтық теңдеуі.

ІІ тәсіл формуласы бойынша.

х – 0 у – 1 Z – 5 х у – 1 Z – 5 -1 – 5 3 -5

3 – 0 0 – 1 0 – 5 = 3 -1 -5 = х* = (у - 1) * + (Z -5) * (-1) = -х

-1 – 0 1 – 1 6 - 5 -1 0 1 0 1 -1 1


+ 2у – 2 – Z + 5 = -х + 2у – Z + 3 = 0 = х – 2у + Z – 3 = 0.

Егер d жазықтығы: а1 х + в1 у + с1 Z + d1 = 0 және в жазықтығы а2 х + в2у + с2Z + d2 = 0 өзара перпендикуляр болса, онда біреуінің нормаль векторы екінші жазықтықта жатқан векторлармен компланар болады. Осы қасиетке сүйеніп, А (х1, у1, Z1), В (х2, у2, Z2) екі нүктеден өтіп, ах + ву + с z + d = 0. жазықтығына перпендикуляр болатын жазықтықтың теңдеуін жазуға болады:

х – х1 у – у1 z – z1

х2 – х1 у2 - у1 z2 – z1 = 0

а в с

Мұнда а, в, с – жазықтықтың нормаль векторының координаталары


2-ші және 3-ші ретті анықтауыштар

Элементтер қасарланған индекстермен нөмірленеді.

1. Кез келген а11, а12, а21 және а22 сандары үшін а11 * а22 – а12 * а21 айырмасын 2-ші ретті анықтауыш деп атайды және былай белгілейді; а11 а12

а21 а22

2-ші ретті анықтауыш

а11 а12 = а11 * а22 – а12 * а21

а21 а22

формуласымен есептелінеді және оны мына схема бойынша есте сақтауға болады:

  1. 0 = 0 0 - 0 0

0 0 0 0 0 0.


2. кез келген а11, а12, а13, а21, а22, а23, а31, а32, а33 нақты сандары үшін а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а13 а21 а32 – а13 а22 а31 – а11 а23 а32 – а12 а21 а33 қосындысын 3-ші ретті анықтауыш деп атайды және былай белгілейді:

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33

3-ші ретті анықтауышты есептеу үшін Саррюс схемасын (үшбүрыш ережесін) жиі қолданады.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 = 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0 - 0 0 0 - 0 0 0 - 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Қосарланған идекстің ыңғайлығы оның бірінші индексі – элементтің қай жолда орналасқанын, ал екінші индексі оның қай тік жолда орналасқанын көрсетеді.

Мыс., а31 элементі 3-ші жатың, 1-ші тік жолдардың қиылсуында орналасуын білдіреді.

Үшінші ретті анықтауыш ережесі:

а) Кестенің бас диагоналінде тұрған сондардың көбнйтіндісінен (а1, в2, с3)

б) Екінші диагональ бойындағы сондардың көбейтіндісін шегереміз (с1, в2, а3)

в) Үшбұрыштың екі төбесін қосатын түзу кестенің бас диагоналіне параллель болған жағдайда үшбұрыштың төбелеріндегі сандардың көбейтіндісінің алдына плюс таңбасын қоямыз.

г) Егер түзу екінші диагоналіне параллель болса, үшбұрыш төбесін құрайтын үш санның көбнйтіндісінің алдына минус таңбасы қойылады.

Анықтауыштың қасиеттері.


  1. Анықтауыштың әрбір жолын сол нөмірдегі бағанмен алмастырғаннан анықтауыштың шамасы өзгермейді.

Мысалы; а1 в1 с1 а1 а2 а3

а2 в2 с2 = в1 в2 с2

а3 в3 с3 с1 в1 с3

  1. Анықтауыштың қандайда екі жолын немесе екі бағанының орындарын ауыстырғанда анықтауыштың абсолют шамасы өзгермейді, ал таңбасы қарама қарсыға өзгереді.

Мысалы:а)ІІ және ІІІ жолдың орындары ауысқан

а1 в1 с1 а1 в1 с1

а2 в2 с2 = - а3 в3 с3

а3 в3 с3 а2 в2 с2

б) І және ІІІ бағанның орындары ауысқан

6 7 8 8 7 6

2 0 1 = - 1 0 2

4 3 2 2 3 4


  1. Анықтауыштың қандайда бір жолының элементтері (немесе бағанының элементтері) сәйкес түрде екінші бір жолының (бағанының) элементтеріне тең немесе пропорционал болса, анықтауыш нольге тең болады.

Мысалы: ІІ және ІІІ бағандар тең

3 2 2

4 -3 -3 = 0

0 -1 -1

4. Бір жолдың (немесе бір бағанның) барлық элементтерінің ортақ көбейткішін шығаруға болады:

ка1 кв1 кс1 а1 в1 с1

а2 в2 с2 = К а2 в2 с2

а3 в3 с3 а3 в3 с3


  1. Бір бағанның (немесе бір жолдың) әрбір элементі екі қосылғыштың қосындысынан түрса, онда оның анықтаушы екі анықтауыштың қосындысына тең болады:

І – қосылғыш түрады, екіншісінде екінші қосылғыш турады, ал қалған элементтері өзгермейді.

Мысалы: а1 в1+с1 d1 а1 в1 d1 а1 с1 d1

а2 в2+с2 d2 = а2 в2 d2 + а2 с2 d2

а3 в3+с3 d3 а3 в3 d3 а3 с3 d3


  1. Қандай да бір бағанның барлық элементтеріне екінші бір бағанның сәйкес элементтері пропорционал болатын қосылғыштарды қосса, жаңаданжыққан анықтауыш бұрынғы анықтауышқа тең болады. Жол элементтері үшін де бұл ереже орындалады. Бұл қасиеттерді қолданып берілген анықтаушты есептегенде реті төмендетілген анықтаушқа көшуге мүмкіндік туады.

Мысалы:

а) ІІ-ші бағанда (-2)-ге көбейтіп, І-ші бағанға қостың; б) ІІ-ші бағанды (-1)-ге көбейтіп ІІІ бағанмен қостың;

а) 2 1 1 0 1 0 -5 -1

= 1 3 2 = -5 3 -1 = -1 = - (-10 -7) = +17

1 4 6 -7 3 2 -7 2

б) 1-ші жол бойынша жіктедік

б) 2 1 1 3 2 1 2 1 3

= 1 3 2 = 2 -1 +1 = 2 (18 - 8) – (6 - 2) + (4 - 3) = 17

1 4 6 4 6 1 6 1 4


Сызықтың теңдеулер жүйесін анықтауыштар көмегімен шешу а1х + в1у = с1

а2х + в2у = с2

Теңдеулердің коэффиценттерінен кесте құрып, оның мәнін мына ереже бойынша есептейік: кестенің бас диогоналының бойында тұрған цифрлардын көбейтіндісінен (а1 в2) келесі диогональдын бойындағы цифрлардын көбейтіндісін шегерейік

а1 в1

= = а1в1 – а2в2

а2 в2

с1 в1

= = с1в2 – в1с2

с2 в2

(бірінші бағандағы элементтер сәйкес түрде жүйенің с1 және с2 бас мүшелерімен алмастырылды).

Қорытынды


Бұл жұмыста екінші,үшінші,п-ші ретті анықтауыштардың элементтері,олардың элементтерінен құрылған кесте бойынша мәндерін есептеу ережелері туралы толық түсінік келтірілді.Анықтауыштың қасиеттері, олардың есептеулерде қолдану жағдайлары көрсетілді.Анықтауыштаркөмегімен екі және одан да көп белгісізі бар бірнеше теңдеулерден тұратын теңдеулер жүйесін жеңіл әдіспен шешуге болады.Анықтауыштардың қасиеттеріне сүйене отырып параметрлі теңдеулер жүйесіндегі параметрдің қандай мәнінде жүйенің бір шешімі,шексіз көп шешімі немесе шешімі болмайтындығын анықтай аламыз.Сонымен бірге анықтауыштарды,олардың қасиеттерін қолдана отырып әр типті геометриялық есептеді шығара аламыз.Вектордың векторлық көбейтіндісі арқылы үшбұрыштың,параллелограмның аудандарын есептеу,екі нүкте арқылы өтетін жазықтық теңдеуін,үш нүкте арқылы өтетін жазықтық теңдеуін,компланар векторларды анықтап,бір векторды екі вектор арқылы жіктеп жазуға болады.Мектеп бағдарламасында қарастырылмайтын анықтауыштар көмегімен теңдеулер жүйесімен бірге әр типті геометриялық есептерді тез және жеңіл түрде шығаруға болатындығын көрсеттім.


Әдебиеттер:

1.Э.С.Маркович

Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и матаматической статистики

2.Журнал «Репетитор»

№6(2005) 1,2,3(2006)

3.Ә.Н.Шыныбеков

Геометрия 10

Похожие:

Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЕ. А. Букетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті

Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЕ. А. Букетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті
Тұтас педагогикалық процестегі танымдық іс-әрекетінің психологиялық-педагогикалық негіздері
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЕ. А. Букетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университті
Дарақтар экологиясы – Аутэкология. Экологиялық факторлар, факторларға қатысты тірі организмдердің топтары, экология заңдары
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconҰлттық руханият: республикалық ғылыми-практикалық конференция: материалдары 5 желтоқсан 2014 ж.: магистранттарға, студенттерге арналған / Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі, Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті; ред.
Республикасы білім және ғылым министрлігі, Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті; ред. А. М. Ғазалиев. Қарағанды: Қармту,...
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconДиссертациямен Е. А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университетінің кітапханасында танысуға болады
Жұмыс Е. А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университетінің археология, этнология және Отан тарихы кафедрасында орындалды
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЕвней Арыстанович Букетов (23. 03. 1925 13. 12. 1983): Библиограф указ. Қарағанды, 1992. С. 75-131
Хронологический указатель трудов академика Е. А. Буке­това // Евней Арыстанович Букетов (23. 03. 1925 – 13. 12. 1983): Библиограф...
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconДиссертация 2009 жылы «01»
Жұмыс Е. А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті химия факультетінің химиялық технология және экология кафедрасында...
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЖелдыбаева балгын сембайқызы жаратылыстану пәндерін оқыту үдерісінде халық педагогикасы арқылы оқушылардың танымдық іс-әрекетін қалыптастыру
Е. А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті жанындағы педагогика ғылымдарының докторы ғылыми дәрежесін алу үшін диссертация...
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconЕ. А. Букетов атындағы Қарағанды мемлекеттік
А,В,с егер а оқиғасы әр сынақта сөзсіз пайда болса, онда ол ақиқат оқиға деп аталады. Сынақ кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін...
Е. А. Букетов атындағы Қарағанды Мемлекеттік Университеті iconКіріспе
Е. А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университетіндегі педагогика ғылымдарының докторы ғылыми дәрежесін қорғау жөніндегі...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©kzdocs.docdat.com 2012
обратиться к администрации
Документы
Главная страница