Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб?




Скачать 57.72 Kb.
НазваниеЧ ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб?
Дата конвертации10.02.2016
Размер57.72 Kb.
ТипВопрос
источникhttp://www.tmbr6.narod.ru/round_7_1.doc

    VII Всероссийский студенческий турнир математических боёв

1 тур. 17 апреля 2011 г.

  1. Через каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? (Ю.А. Игнатов)

  2. Решите числовой ребус («Мат. праздник»)

  3. Пусть f(x) = . Найдите . («Всеармейские олимпиады», №9.28)

  4. Дана окружность. Впишите в эту окружность с помощью циркуля и линейки трапецию, зная ее боковую сторону и расстояние от точки пересечения диагоналей до центра окружности.

(«Избранные олимпиадные задачи»)

  1. Пусть х = 2 – . Чему равны первые две цифры после запятой в десятичной записи числа x + x2 + … + x20?

(Казахстан, олимпиада 2010, 9 класс)

  1. Многочлен f(x) третьей степени с действительными коэффициентами имеет три различных действительных корня одного знака. Докажите, что существует такое число а, что многочлен f(x) – ах имеет три корня, образующих арифметическую прогрессию. (Ю.А. Игнатов)

  2. Двое по очереди подбрасывают монету. Выигрывает тот, у которого раньше выпадут подряд два орла. Нейдите вероятность выигрыша для первого игрока. (Ю.А. Игнатов)

  3. На доске записаны подряд числа 1, 2, … , 10. Разрешается из любых двух соседних чисел стереть левое, если разность между этими числами нечетная, или правое, если эта разность четная. Может ли после девяти таких операций на доске остаться число 1? (Ю.А.Игнатов)

  4. Дан тетраэдр. Двое по очереди проводят секущую плоскость и отбрасывают один из двух получившихся многогранников, у которого меньшее число граней (если граней одинаковое число, отбрасывается любой по усмотрению делавшего разрез). Задача первого – получить в итоге многогранник с наибольшим числом граней, второго – с наименьшим. Какое наименьшее число граней может обеспечить второй игрок за два двойных хода? (Ю.А. Игнатов)

Решения задач

1. Секущие плоскости делятся на два вида: диагональные и проходящие через три несмежные вершины (назовем их косыми). Проведем сначала диагональные плоскости. Всего их 6: по числу пар противоположных ребер, определяющих каждую такую плоскость. Определим, на сколько частей они делят куб. Каждая такая часть представляет собой треугольную пирамиду с вершиной в центре куба и основанием на его поверхности. Основание представляет собой четверть грани куба, отсеченную диагоналями этой грани. К каждой грани примыкают 4 таких пирамиды, а всего их 24.

Косых секущих плоскостей 8: каждая из них соответствует вершине куба, смежной с тремя вершинами, определяющими косую плоскость. Косые плоскости делятся на две группы, каждая определяется четверкой несмежных вершин куба. В каждой четверке косые плоскости внутри куба не пересекаются, они пересекаются по диагоналям граней куба. Возьмем сначала одну такую четверку и посчитаем, сколько частей она добавляет к разбиению куба. Каждая косая плоскость пересекает куб по треугольнику (равностороннему), а линии пересечения с диагональными плоскостями являются высотами в этом треугольнике. Они делят треугольник на 6 частей. Каждая из этих частей есть граница, разделяющая на две части одну из ранее полученных частей разбиения куба. Следовательно, каждая косая плоскость рассмотренной четверки добавляет к разбиению 6 частей. а всего добавляется 24 части.

Наконец, проводим косые плоскости второй четверки. Каждая пересекает куб по равностороннему треугольнику. Этот треугольник пересекается с диагональными плоскостями по высотам, а с косыми плоскостями первой четверки по средним линиям. Этими пересечениями треугольник делится на 12 частей, значит, добавляет к разбиению куба 12 кусков. Всего добавляется 48 кусков, и их общее количество 96.

2. Из формы записи видим, что второй сомножитель имеет среднюю цифру 0. Произведение равно ААААА = А11111 = А41271. Трехзначные числа, кратные 271, не имеют 0 в середине. Значит, первый сомножитель кратен 271, а второй 41. Умножая 41 на однозначные числа, находим единственное его кратное, имеющее 0 на втором месте: 205 = 415. Тогда в первый сомножитель 271 входит с коэффициентом 1, и единственным решением является 271205 = 55555.

3. Если воспользоваться формулой , то эта функция разрывная и не имеет предела в точке x = 0. Но значение производной в этой точке можно найти непосредственно по определению производной, пользуясь тем, что f(0) = 0. Сначала выполним преобразования:

f(x) = ===+= g(x) + h(x);

; .

Последняя функция непрерывная, поэтому . Тогда и .

4. Пусть AKB =  Так как угол AKB равен полусумме равных дуг АВ и CD, то он равен дуге АВ и может быть построен как центральный угол, опирающийся на эту дугу. Имея , строим  = (180– )/2. Далее проводим произвольный диаметр, на нем отмечаем точку пересечения диагоналей K на заданном расстоянии от центра О. Через точку K проводим две прямые под углом  к диаметру. Эти прямые определяют диагонали трапеции, которую легко достраиваем.

5. Имеем x + x2 + … + x20 ===== =.

Т
ак как х = 2 – < 0,6, то x20 < 0,620 < 0,15. Значит, первые две цифры после запятой числа совпадают с первыми двумя цифрами числа , то есть это 4 и 1.

6. К графику многочлена из начала координат можно провести две касательных y = a1x и y = a2x, где a1 < a2. Для любого промежуточного значения a1 < a < a2 прямая y = ax пересекает график y = f(x) в трех точках С1, С2, С3. При приближении а к a1 и a2 точка С2 в одном случае неограниченно приближается к С1, в другом к С3. В первом случае С1С2 окажется меньше С2С3, во втором наоборот. Значит, в силу непрерывности в некотором промежуточном положении окажется С1С2 = С2С3. Соответствующее значение а и является искомым.

7. Введем событие А – «выигрыш первого игрока». Пусть Р(А) = р. Введем гипотезы, каждая из которых описывается последовательностью букв О и Р (орел и решка), означающих результаты последовательных подбрасываний монеты:

Н1 – Р; Н2 – ОРР; Н3 – ОРО; Н4 – ООО; Н5 – ООРО; Н6 – ООРР.

Эти гипотезы образуют полную группу событий. Вероятность каждой равна 2k, где k – число букв в соответствующей последовательности. Определим условные вероятности события А при этих гипотезах. Гипотезы Н1 и Н2 означают переход хода ко второму игроку. Он становится начинающим, и вероятность выигрыша первого будет равна 1 – р. Гипотезы Н3 и Н4 означают выигрыш первого, Н5 – выигрыш второго. Гипотеза Н6 означает возврат к началу, вероятность А опять будет равна р. По формуле полной вероятности получаем

р = .

Решив получившееся уравнение, получаем р = .

8. Не может. Если стирается самое правое из написанных чисел, то соседнее с ним имеет ту же четность, и это число останется самым правым. Следовательно, самое правое число всегда имеет ту же четность, что в исходной последовательности, то есть является четным. Значит, и последнее оставшееся число должно быть четным.

9
. Второй игрок может обеспечить 5 граней. За один ход число граней можно увеличить не более чем на 1. Если после разреза n-гранника на одной из частей окажется k неразрезанных граней, то число граней на другой части будет nk +1 (k граней потеряно и добавилась одна в плоскости разреза). Второй игрок своим ходом может не увеличить число граней, например, если проведет плоскость разреза через какое-нибудь ребро: тогда в каждой части будет неразрезанная грань, примыкающая к этому ребру. При этом если разрез пройдет через два ребра, то число граней уменьшится. Это возможно, например, если в многограннике найдется вершина, из которой выходят не менее четырех ребер: тогда разрез можно провести через два из этих ребер, не лежащих в одной грани.

Отсюда первый игрок, чтобы за два хода обеспечить не менее 6 граней, должен на каждом ходу число граней увеличивать, при этом не допуская появления вершин степени 4. У него для этого есть две возможности, показанные на рисунках: секущая KLM на рис. а) и секущая KLMN на рис б). Разбить получившийся многогранник на два тетраэдра второму игроку не удастся, но в обоих случаях он может получить пятигранник, являющийся четырехугольной пирамидой. На рис. а) это пирамида MKCDL с вершиной М, на рис. б) пирамида AKLVN с вершиной А. При вершине пирамиды есть две пары ребер, лежащих в одной плоскости, по которым второй игрок может провести сечение. Разрезать пирамиду так, чтобы в оставшийся многогранник не попала ни одна из этих пар или их частей, первый игрок не может. Поэтому своим вторым ходом второй игрок добьется получения пятигранника, как описано выше.

Похожие:

Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconКонтрольная работа №9 за IV
Найдите площадь фигуры, являющейся развёрткой куба, если объём этого куба равен 8 см3
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconУдвоение куба ( I ). К
Удвоение куба (I). Квадратура круга (II ). Пентаграмма Стоунхенджа (III). Трисекция угла(IV)
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconРисунок куба в перспективе
Перспектива куба строится на перспективе квадратов, его образующих. Для изображения квадрата в перспективе надо знать следующее
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? icon@заголовок = Куба укрепляет связи с партнерами на Африканском континенте
Юг Юг. Свидетельством этому стали состоявшиеся в июле рабочие визиты кубинского лидера Рауля Кастро в эти страны, в ходе которых...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconКуба, Провинция Матанзас
Провинция Матанзас расположилась в западной части острова Куба и собрала на своей территории достаточно большое количество туристических...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconВ целях развития сотрудничества и обеспечения целостности и ста­билизации всемирного хозяйства в основном после второй мировой войны созданы международные
Вб США располагают 17% всех голосов, т е столько, сколько 140 раз­бивающихся стран в совокупности. Штаб-квартира мвф и группы вб...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconДля каждого ученика. Техническое оснащение школы, заинтересованность учителя основные условия успешной работы в данном случае. Б уроки-презентации
Главная задача образования сегодня не столько овладение суммой знаний, сколько развитие творческого мышления школьников, формирование...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconОбъявление об осуществлении закупок запасных частей для Компрессоров способом запроса ценовых предложений
...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconКонкурс по государственным закупкам работ по капитальному ремонту пожарных частей
А по чрезвычайным ситуациям Северо-Казахстанской области мчс рк, г. Петропавловск, ул. Г. Мусрепова,32-а, e–mail: ush1962@mail ru,...
Ч ерез каждые три вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разрезают куб? iconСколько химиков до него пыталось привести в систему все многообразие элементов, которые создали удивительный мир вокруг человека и которые составляют самое его
Сколько людей поставили ради этого на карту свою жизнь. Многие понимали, чувствовали, что должна быть такая система закон природы,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©kzdocs.docdat.com 2012
обратиться к администрации
Документы
Главная страница