Скачать 154.54 Kb.
|
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы5В070300 - Ақпараттық жүйелер мамандығы студенттеріне Сандық әдістер пәнінен пәнді оқып-үйренуге арналған әдістемелік нұсқау Павлодар
Құрастырған: аға оқытушы Ардабаева Алмагуль Кайрбаевна Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы5В070300 - Ақпараттық жүйелер мамандығы студенттеріне Сандық әдістер пәнінен пәнді оқып-үйренуге арналған әдістемелік нұсқау Кафедра отырысында ұсынылған 2010 ж. «___»_________ №_____хаттама Кафедра меңгерушісі ___________________ Асаинова А.Ж.(қолы) Физика, математика және ақпараттық жүйелер факультеттің әдістемелік кеңесімен құпталған 2010 ж. «_____»______________ №____хаттама ӘК төрағасы __________ Мұқанова Ж.Ғ. «____»_____________2010 ж.(қолы) (күні) КЕЛІСІЛДІФакультет деканы __________ Нұрбекова Ж.К. «____»____________ 2010 ж.(қолы) (күні)Жжәқб құпталды ЖжӘҚБ бастығы ____________ Варакута А.А. «____»_____________2010 ж. (қолы) (күні) Университеттің әдістемелік кеңесімен құпталған «_____»______________ 2010 ж. №____хаттама
Сандық әдістер. Есептеу эксперимент және математикалық моделдер туралы түсінік. Сандық әдістеріне қойылатын талаптар. Ғылыми зерттеулерде аумақты есептеу жұмыстары үшін есептеуіш техниканы пайдалану аса табысты нәтижелерге жеткізуде. Шынында, қазіргі төртінші буынның ЭЕМ-нің бір секундта орындайтын операия саны милиардтап есептелінеді. Демек, ол адамның бірнеше күнде орындайтын есепту жұмыстарын бірнеше сағатта ғана орындай алады. Бірақ, ЭЕМ тек қана адамның ой еңбегімен құрылған программа бойынша берілген тапсырманы ғана орындай алады. Ол үшін біздер ақиқат дүниедегі әр түрлі құбылыстардың математика тілінде моделін білуіміз қажет. Қолданбалы есептер табиғаттағы құбылыстар, физикалық, химиялық, жоспарлауда басқару жүйелері және тағы да басқа нақтылы объектілермен байланысты. Мұндай есептерді тұжырымдау үшін көбінесе әуелі зерттеленетін объектінің ең маңызды қасиеттері мен ерекшеліктерін, қажетті параметрлерін анықтайды. әрі қарай оларды математикалық қатыстар, белгілер арқылы сипаттайды. Осы процесті математикалық құру деп атайды. Сонымен, математикалық модельдеу – табиғаттағы кейбір құбылыстар кластарын математикалық белгілер, формулалар көмегімен өрнектеу арқылы жуықтап жазу. Математикалық моделдеуге қойылатын талаптар: – математикалық моделдеудің қарастыратын құбылысқа барабарлығы (адекваттылығы), дәлірек айтқанда мдель құбылыстың негізгі ерекшеліктерін, қасиеттерін жеткілікті, дәл және айқын сипаттау қажет; – математикалық моделдеу қарапайым, зертеуге түсінікті және ыңғайлы (доступный) болуы қажет. Қолданбалы математикада мұндай талаптарды қанағаттандыратын құбылыстың математикалық мөделін құру оңай емес, ол ғылыми техникалық есепті шешу барысында аса күрделі және қиын кезеңінің бірі. Ұсынылатын әдебиеттер: [1], [2], [3] 2-тақырып. Сызықты теңдеулер жүйелерінің шешудің итерациялық әдістері Негізгі ұғымдар. Сызықтық жүйелер. Сызықты теңдеулер жүйелердің шешім әдістері туралы Тура әдістер. Басты элементер әдісі (Гаусс әдісі). Квадраттық түбірлер әдісі. Халецкий әдісі. Математикалық моделдеудің кмегімен ғылыми-техникалық қолданбалы есептерді шығару таза математикалық есептерді шығаруға болады. Ал, математикалық есепті шығару үшін негізінен келесі үш әдіс олданылады: графикалық, аналитикалық, сандық әдістер. - графикалық әдіс. Бұл әдіспен кейбір жағдайда ізделінетін шаманың ретін анықтауға болады. Мұның негізі – есептің шешуін функцияның графигін салу көмегімен табу. - аналитикалық әдіс. Мұнда есептің шешімін формула көмегімен өрнектеуге болады. Мысалы: қарапайым алгебралық, тригонометриялық, трансценденттік, дифференциалдық теңдеудің шешімі. - сандық әдістер. Қазіргі кезде күрделі математикалық есептерді шығарудың негізгі құралы сандық әдістер. Сандық әдістер есептің шешімін сандарға қолданылатын саны шектеулі арифметикалық операциялар орындауға келтіріледі және нәтижесін андық мәндер арқылы береді. Теңдеуді шешу – оның түбірлері болатынын, егер бар болатын болса нешеу екенін және оларды белгілі дәлдікпен мәндерін анықтау. ![]() түріндегі сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін табу есебі әртүрлі ғылыми зерттеулерде кездеседі (мұндағы ![]() ![]() Әрбір ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сызықтық емес теңдеулерді шешудің әдістері тура және итерациялық болып бөлінеді. Тура әдістер түбірлерді шекті қатынас (формула) түрінде жазуға мүмкіндік береді. Мектеп курсынан тригонометриялық, логарифмдік, көрсеткіштік, сонымен қатар қарапайым алгебралық теңдеулерді шешу үшін әдістер белгілі. Бірақ та тәжірибеде теңдеулердің мұндай әдістермен шешілмейтіндері де кездеседі. Оларды шешу үшін итерациялық әдістер пайдаланады, яғни тізбектелген жуықтау әдістері (сандық әдістер). Теңдеудің түбірлерін сандық әдіспен табу есебі екі кезеңнен тұрады: түбірлерді айыру, яғни түбірдің бір ғана мәнін қамтитын жеткілікті аз (сығылған) аймақтарды табу және түбірлерді анықтау, яғни қандайда бір аймақтағы түбірді белгілі дәлдікпен есептеу. Ұсынылатын әдебиеттер: [1], [2], [3] 3-тақырып. Сызықты теңдеулер жүйелерін шешудің дәл әдістері Итерация әдісі. Итерациялық процесстің жинақталуының жеткілікті шарты. Итерациялық процесстің жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты. Сызықты теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістерінің жалпы схемасы. Релаксациялық принципі. Зейдель әдісі. Минимальді үйлесімсізділік әдісі және оның қателігі. Жылдам түсу әдісі. Жылдам түсу әдісі жинақталу жылдамдығының бағасы. Матрицаның меншікті мәндері мен векторларын табу. Меншікті мәндер мәселесі. Матрициның модулі бойынша ең үлкен меншікті мәнін және соған сәйкес меншікті векторын итерация әдісімен есептеу. Итерациялық әдістер – біртіндеп жуықтау әдістері. Мұнда жуықталған шешімін беру керек – бастапқы жуықтау. Бұдан кейін алгоритм көмегімен есептеудің бір циклі жүргізіледі (итерация деп аталады). Итерация нәтижесінде жаңа жуықтау алынады. Итерация талап етілетін дәлдікпен шешім алынғанға дейін жүргізіледі. Итерациялық әдістерді пайдаланып сызықтық теңдеулерді шешудің алгоритмдері тура әдістермен салыстырғанда өте күрделі. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді итерация әдісімен шешу. Сығып бейнелеу принципі және оны теңдеулер шешудің итерациялық әдістерінің жинақтылығын зерттеуге қолдану. Қиюшылар әдісі. Ньютон әдісі, Ньютон-Канторович әдісі. Аралас әдісі. Осы әдістердің жинақтылығы. Айталық бізге ![]() түріндегі теңдеу берілсін. Мұндағы ![]() ![]() ![]() теңдеуімен алмастыруға болады. Мұндай жағдайда ![]() ![]() Мысал 1. ![]() Түбірлерін графикалық түрде айыру үшін, оны оған мәндес ![]() ![]() ![]() Графикке қарап, оның ![]() ![]() ![]() Түбірлерді айыру туралы есептерді шешу барысында келесі жайттардың пайдасы бар:
Тексеру үшін ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Қарапайым жағдайда, түбірлерді графикалық айыруды қолмен еептеуге болады, кейде күрделі жағдайларда теңдеудің түбірі берілген кесіндіде болуын (санын) анықтауда компьютердің қолданбалы бағдарламасын пайдалануға немесе программалау тілінде программа құрастыруға болады. Айталық ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теңдеудің шешімін программалау тілі көмегімен қарастырайық. Осыған сәйкес келетін алгоритмнің жалпы схемасын көрсетейік. Қойылған есептің нәтижесі экранда көрсетілген ![]() ![]() ![]() Ұсынылатын әдебиеттер: [3], [4], [5] 4-тақырып. Функцияларды жуықтау Интерполяция есебіеің қойылуы. Интерполяция және қалпына келтіру. Арифметикалық амалдар саны туралы түсінік. Интерполяциялық формулалары қателілігінің бағасы және оларды минимизациялау. Нормаланған кеңістііктегі ең жақсы жуықтау. Ақырлы айырымдар. Ньютонның бірінші және екінші интерполяциялық формулалары.. Орта айырымдар кестесі. Гаусс, Стирлинг, Бессель интерполяциялық формулалары. Тұрақты қадамды интерполяциялық формулаларының жалпы сипаттамасы. Лагранж интерполяциялық формуласы. Ең жақсы интерполяциялық түйіндерін таңдап алу. Есептеу әдістерінің көпшілігі есептің тұжырымына енетін функцияны басқа бір есептеуге ыңғайлы және кейбір мағынада оған жуық қарапайым функциямен алмастыруға негізделген. Біздер үзіліссіз дифференциалданатын функциялар ![]() жүйесін қарастырамыз. Бұл функциялар жүйесінен құрылған ![]() мұндағы, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ұсынылатын әдебиеттер: [5, [6], [7] 5-тақырып. Интегралды жуықтап есептеу Ньютон-Котес квадратуралық формуласы. Трапеция формуласы және оның қалдық мүшесі. Симпсон формуласы және оның қалдық мүшесі. Монте-Карло әдісі. Ньютон әдістері Жартылай бөлу әдісімен қатар күрделі және тиімді итерациялық әдістер бар. Бұл әдістерге Ньютон есімімен байланысқан әдістердің тобы қатысады. Олардың екеуін қарастырайық: жанама әдісі және хорда (қиюшы) әдісі. Бл әдістердің екеуі де мынадай тәсілге негізделген. ![]() теңдеуінің ![]() ![]() мұндағы, ![]() ![]() ![]() Жанама әдісі а) Бірінші тәсіл Айталық ![]() ![]() реккуренттік қатынасының көмегімен құрылады. Бастапқы ![]() ![]() 1) ![]() 2) Бірінші және екінші ретті туындылары осы кесіндіде таңбасын сақтайды, яғни ![]() Мұндай жағдайда ![]() ![]() ![]() ![]() Р ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итерациялық тізбектің әрбір келесі мүшесіне ![]() Қателікті бағалау мынадай теңсіздіктің көмегімен жүзеге асырылады: ![]() ![]() Хорда (қиюшы) әдісі Жанама әдісін жүзеге асыру барысында, ![]() ![]() ![]() а) Бірінші тәсіл Егер ![]() ![]() ![]() ![]() реккуренттік қатынаспен анықталатын хорда әдісіне (қиюшы әдісіне) келеміз. ![]() ![]() ![]() ![]() Т ![]() ![]() теңсіздігінің көмегімен анықталады. Әдістің геометриялық мағынасы төмендегі суретте көрсетілген. Берілген жағдайда ![]() ![]() ![]() Ұсынылатын әдебиеттер: [5, [6], [7] 6-тақырып. Айырымдылық схемаларының негізгі түсініктері Қарапайым дифференциалдық операторлардың айырымдылық аппроксимациялары. Тор және торлық функциялары. Тордағы аппроксимация қателігі. Айырымдылық есебінің қойылуы. Схемалардың жинақтылығы мен дәлдігі туралы. Айырымдылық есебінің корректілігі туралы түсінік. Орнықтылық, аппроксимация және жинақтылық. Ұсынылатын әдебиеттер: [6], [8], [7] 7-тақырып. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерге қойылған Коши есебін шешудің сандық әдістер Эйлер әдісі, Рунге-Кутта әдісі, Милн әдісі. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерге қойылғыан шекаралық есебін шешудің сандық әдістері. Эйлер әдісі. Жай дифференциалдық ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Егер ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() мұндағы, берілген туындылар теңдеуді біртіндеп диференциалдау арқылы табылады. Төртінші мүшесіне дейінгі дәлдікпен табуға болады. Бұл әдісте әрбір қадамда жіберетін қате қадам шамасының бесінші дәрежесіне дифференциал. Ұсынылатын әдебиеттер: [6], [8], [7] 8-тақырып. Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есебін шешудің сандық әдістері Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есебін шешудің айырымдылық әдістері. Қуалау әдісі. Орнықтылығы, қателігінің бағасы. Жинақтылығы. Қуалау әдісінің дәлдігін арттыру. Галеркин әдісі. Коллокация әдісі. Ең аз квадраттар әдісі. ![]() жүйенің анықтауышын ![]() ![]() Теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісімен анықтауышты есептеу алгоритмін қарастырайық. Бірінші теңдеудің сол және оң жақ бөліктерін ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Амалдарды жалғастыра отырып, ![]() ![]() жүйесіне келеміз. Осы жүйенің анықтауышы ![]() ![]() Сонымен, бастапқы матрицаның анықтауышы: ![]() мұндағы ![]() Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: егер квадратты матрицаның анықтауышын есептеу қажет болса, онда осы матрицадан теңдеулер жүйесін шешу керек. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Осы жазу арқылы ![]() Әр жүйені шешімі кері матрицаның сәйкесінше бағанын береді. Ұсынылатын әдебиеттер: [6], [8], [7] Әдебиеттер тізімі
|
![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы Информатика, 050607 Ақпараттық жүйелер мамандығының студенттеріне «Қазіргі заманғы программалау тілдері» пәнінен | ![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы В070300 Ақпараттық жүйелер мамандығы студенттеріне Мамандыққа кіріспе пәнінен |
![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы Ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша сыртқы және ішкі бөлім студенттеріне арналған курстық жұмыстарға әдістемелік нұсқау | ![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы Ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша сыртқы және күндізгі бөлім студенттеріне арналған курстық жұмыстарға әдістемелік нұсқау |
![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы ... | ![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы |
![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы | ![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы |
![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы | ![]() | Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы |